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中國古代數學九章算術

近代著名科學家伽利略曾提到“自然這本大書是用數學的語言寫成的。”數學不僅在人類探索宇宙和研究自然的過程中起到了重要的作用，而且作為一種生產工具和認識世界的方法論。在人類社會的不同時期，對社會的發展和進步都起了至關重要的作用。而我國的數學應用，從出土的甲骨文來看，最遲當在殷商時期已有數字應用的記載了。

從原始社會的結繩計數到算術、幾何、再到微積分，都包含了人類共同智慧的結晶。而《九章算術》就是中國古代數學著作中最為閃亮的一顆星。

中國古代數學基本以《九章算術》為核心，它一直是人們學習數學的重要教科書。十六世紀以前的中國數學著作，從成書方式來看，大都沿襲《九章算術》的體例。在歷代先賢的不斷學習、引用和完善下，其日漸完備，并逐漸形成我國古代初等數學的體系。為日后我國數學知識體系的不斷完善與發展打下了堅實基礎。

一、《九章算術》的出現

在春秋戰國數學發展的基礎上，秦漢時期出現了我國古代最早的一批數學專著，見于《漢書·藝文志》著錄的《杜忠算術》和《許商算術》兩部數學書，早已失傳。現在傳本的《九章算術》九卷在《漢書·藝文志》中則沒有著錄。班固的《漢書·藝文志》是依據劉歆的《七略》寫成的，可知《九章算術》的編成當在劉歆《七略》之后，在公元五十年前后漢光武帝時的鄭眾解釋《周禮》“九數”時，“勾股”的概念還沒有被安排到“九數”內去，說明包含勾股章的《九章算術》的編成不會在公元50年之前。另外，《后漢書·馬援傳》說，他的侄孫馬續“十六治詩，博觀群籍，善《九章算術》。”馬續是馬融的哥哥，其生年約在公元70年前后，他研究《九章算術》大概是在公元90年前后。因此，《九章算術》的成書大約是在公元50年到100年之間。

《九章算術》是我國現有傳本的古算書中最古老的數學著作，對后世歷代數學的發展，影響很大。它的出現，標志著我國古代以算籌為工具，具有自己獨特風格的數學體系的形成。

經過春秋戰國到西漢中期數百年間政治、經濟和文化的發展，《九章算術》比較系統地總結和概括了這段時期人們在社會實踐中積累的數學成果。這一時期的社會變革和生產發展，給數學提出了不少急待解決的測量和計算的問題。比如，要實行按田畝多寡“履畝而稅”的政策，就需要測量和計算各種形狀的土地面積；要合理地攤派稅收就需要進行各種比例分配和攤派的計算；建造大規模的水利工程、土木工程則需要計算各種形狀的體積以及如何合理地使用人力、物力；商業、貿易的發展，也是需要解決各種按比例核算等問題；還有天文歷法的精確推算等等。

《九章算術》正是由各類問題中，選出二百四十六個例題，按解題的方法和應用的范圍分為九大類，每一大類為一章，編輯而成的。它所提供的數學解法，是為當時生產和科學技術的進一步發展，以及為封建政府計算賦稅、攤派徭役等，提供了方便。

據數學史學者考證，我們現在所見到的《九章算術》雖大約成書于公元一世紀，但并不是一時一人之作，而是經由很多人的修改和補充，才逐漸發展完備起來的。《周禮》記載，授予貴族子弟的六門課程中有“九數”一項，所謂“九數”指的是數學分為九個細目。三國時代的劉徽曾為《九章算術》做過有名的注釋工作，他在注《九章算術》的序言中說：“九數之流則九章是矣。”劉徽生活的時代，距《九章算術》成書的時代較近，他的話應是可信的，即戰國時期的“九數”乃是《九章算術》的濫觴。劉徽還說：“漢北平侯張蒼，大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目與古或異，而所論者多近語也。”這也說明在張蒼之前已有“舊文”，而現存的《九章》是由張蒼等人在“舊文”基礎上增刪而成。

由此可說明《九章算術》一書，是經過長時期由許多人刪訂增補才最后成書的，它是中國先秦至漢初許多學者共同工作的結晶。

《九章算術》首次提出并應用了“負數”

二、《九章算術》的地位及流傳

從三國到唐代初年的幾百年間，是《九章算術》流傳史上的繁榮時期，期間一批杰出數學家可以說都是通過學習 、研究《九章算術》而培養出來的。

中國的學者不同于西方學者喜歡自己著書立說，他們往往通過對現有典籍的注釋來表達自己的思想。而對于《九章算術》的注釋。三國時期的劉徽可能是給《九章算術》作注的第一個數學家，也是能夠流傳下來的最有名的注解。他所采用的方法是“析理以辭，解體用圖”。就是說是用文辭和圖形兩種方法相結合對《九章算術》進行注釋。現傳的《九章算術》有劉徽的詳細文字注釋，且在文字中多次提到圖形，但是沒有一幅圖形在書中。這些圖形應該是在流傳中被刪去了，或是散逸了。

劉徽的《九章算術注》特別詳細，很多地方注文遠遠超過原文，有些則形同獨立的論文。其對于《九章算術》的完善大致有這幾方面。首先是對名詞術語進行了解釋或給出了相當于定義的文字。其次他給幾乎所有的計算公式或定理性的敘述進行了邏輯論證或說明道理。也對原文的個別部分和某些相關的問題進行了有理有據地分析批判，用辭犀利，切中要害。在此基礎上，劉徽還提出了許多新概念、新思想和新方法。最后是對于前人的思想方法的吸收。這些前人的思想有些直接寫進了注中，有些則把它發展、擴充為獨立的篇章，如“重差”即為一例，他說：

徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之于志，以闡世術之美。輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于勾股之下。

就是說劉徽在原書九章之末又加了一章，因而劉徽注本《幾章算術》為十章，這是其流傳史上的第一次大變化。

劉徽之后，據史籍記載，為《九章算術》寫過注解的還有著名數學家祖沖之等人，可惜這些注解都在漫長的歷史海洋中遺失了。

可以說，南北朝時期，《九章算術》的流傳已經相當廣泛，它已成為時人學習數學的必讀書。當時屢有出現以“九章”為名的數學著作。“九章”在南北朝這段時期在某種程度上已然成為了算學的代名詞。

而到了隋唐時期，特別是唐代前期，《九章算術》由于被官方列為主要數學教科書而形成了第一個流傳高峰。

在隋代，國家設置算學博士，為教授數學的國家教師。唐代因之，但教育規模上要比隋代大得多。為了教學的需要，李淳風、梁述、王真儒等 “受詔注《五曹》、《孫子》十部算經，書成，唐高祖令國學行用。”

在這“十部算經” 中《九章算術》是最重要的教材之一。這次注釋是在劉徽的基礎上進行的，大部分都是寫在劉徽未注的地方。有部分為重新注解，或繼續劉徽注闡釋同一問題。在注中除對一些名詞等的解釋外，還有對劉徽注的一些改動。注中也包括不少新意和保留了一些有價值的史料，在數學史上有其重要性。

《九章算術》被列為國家“明算科”的教科書“十部算經”之一，不但肯定了其在中國數學史上的地位，而且在流傳上也是有很大好處的。“明算科”的學生多則達三十幾人，少則幾人。它的歷史也不是一二屆，而是斷斷續續維持了一百多年，究竟有多少學數學的學生實無法統計，粗略估計恐不下一二百人。這些人大都是要學習《九章算術》的。但有時也把學生分為兩組，一組學習《九章算術》，另一組不學，而且人數各占一半。就算如此，學習過《九章算術》的學生也要有半百左右。這些學生都得有書，就要出現幾十部紙抄本《九章算術》，畢業后這些抄本便被帶到了全國各地。由此可想見《九章算術》在唐代的流傳之廣。遺憾的是，這批紙抄本《九章算術》連一本也未保存下來。

《九章算術》不僅在國內大量流傳。而且在唐代也傳到了朝鮮、日本等鄰國。日本來中國的人中，“遣唐使”對文化的交流起了主要作用。他們來中國的一個主要目的就是向中國學習先進文化，因此他們在中國生活、學習了一段時間回國后，把很多中國的文化、習俗等都帶去了日本。作為大國先進文化的代表，對《九章算術》的學習、傳播自然也包括其中。而當時的唐朝及附屬國渤海也都有人不斷去朝鮮和日本。這無疑也推動了《九章算術》的向外傳播。

算籌

三、《九章算術》的數學思想及方法

一、《九章算術》具有天然的開放性和實用性。

《九章算術》的內容緊密聯系實際，目的是解決人們生產、生活中遇到的數學問題。該書的一些章節直接與某些官員的職責相關。如“方田”章直接與“籍田令”(掌管耕種宗廟社稷之田的官員)的職責相關；“均輸”章直接與“均輸令”(掌管統一征收、買賣和運輸貨物的官員)的職責相關。“少廣”章和“商功”章的部分內容直接服務于“符節令”和“鐘官令”等官職。所以，《九章算術》所提供的數學方法是中國古代許多官員必備的技藝的一種。這就決定了其必然不斷反映現實需要，回答實踐中提出的各種數學問題，以開放的結構與時俱進、吐故納新。

二、《九章算術》的算法化。

在實用思想指導下，古代中國人習慣于把問題數值化、離散化，利用具體的數值計算來解決一系列復雜的應用問題或理論問題。這種計算思想重視的是構造出可利用算籌計算的算法。中國傳統數學實用性的特征，決定了它的發展是以解決實際應用問題和提高計算技術為其主要目標。

我國傳統數學是沿著注重從實踐經驗中產生和發展數學的思維方式發展數學的，擅長于算。這與西方數學的道路是不同的。中國傳統數學思想有著自己的淵源和模式。在初等數學領域之內，正是這種傳統數學思想把我國數學推向世界的最高峰，許多國家與我國相比，望塵莫及。

中國傳統數學本質上是一種構造性數學，數學對象及結果基本上均可由固定的演算程序經有限步驟得到，各種計算均依固定的演算程序進行，發展起一套程序化、機械化的算法體系。

《九章算術》的主要內容是“術”，而每一個“術”都是由帶有具體數值的一些具體問題引出，“術”實際上是處理相應數值的算法，它可以在古代中國長期使用的計算工具——算籌上機械地進行，其中的很多算法甚至可以容易地轉化成現代的計算機語言。

三、《九章算術》的模型化。

《九章算術》中大多數問題都具有一般性解法，是一類問題的模型，同類問題可以按同種方法解出。其實，以問題為中心、以算法為基礎，主要依靠歸納思維建立數學模型，強調基本法則及其推廣，是中國傳統數學思想的精髓之一。

中國傳統數學的實用性，要求數學研究的結果能對各種實際問題進行分類。對每類問題給出統一的解法，以歸納為主的思維方式和以問題為中心的研究方式，傾向于建立基本問題的結構與解題模式，一般問題則被化歸、分解為基本問題解決。

由于中國傳統數學未能建立起一套抽象的數學符號系統，對一般原理、法則的敘述一方面是借助文辭，一方面是通過具體問題的解題過程加以演示，使具體問題成為相應的數學模型。這既是中國古代數學區別于西方的重要特色，也是我國古代數學一直缺乏創新力的主要原因。故而對于此點，我們要辯證的看待和吸收、繼承。

四、數形結合直覺把握

數和形是數學中最基本的原始概念，《九章算術》開創了中國古代數學中數形結合的獨特的研究方法。其表現為，用數的計算來解決形的研究的若干理論問題，如“方田”、“商功”章的種種平面圖形和立體圖形的求積問題，都用數的計算，即著重于考察圖形中數的關系，算出確定的數值，來得出積與邊、高、徑長的關系。同時，也用形的直觀來解釋數的算法，如對“開方術”、“開立方術”等，為以圖形作解釋打下基礎(實際的解釋是劉徽完成的，借助于面積和體積的圖解對開平方和開立方作了通俗易懂的說明。在劉徽的注文中，更是把它發展為“析理以辭、解體用圖”這樣一套系統方法)。

數形結合的思想有助于數學的各個領域的融會貫通，有助于發揮數學思維的整體性，使之更為深刻、靈活，是現代數學教學中強調的基本數學思想之一。正如法國數學家拉格朗日所說：“當‘數’和‘形’分道揚鑣的時候，數學的進展就緩慢，應用也有限。但是，一旦它們聯袂而行，它們就互相從對方吸收新鮮的活力，從而大踏步地走向各自的完美。”

四、《九章算術》的影響

《九章算術》的內容包括了初等數學中算術、代數以及幾何的相當大部分的內容，有著輝煌的成就，而且它形成了有自己特點的完整體系。這些特點就是：它重視理論，但不是那種嚴重脫離實際的理論，而在實際的計算方面具有很高的水平，有者一整套在當時世界上堪稱是十分先進的算籌算法，用算籌的不同位置和不同擺法，不僅可以表示任意大的數目，而且可以表示一個方程的各次項系數或是表示一個方程組中各方程的系數，進一步又可以表示正數和負數。在數學命題的敘述方法上，也是從實際的問題出發，而不是從抽象的定義和公理出發。

這些特點，使得中國數學在許多重要方面，特別是在在用十進制解決實際問題以及在計算技術等方面的顯著優點，遠遠勝過古希臘的數學體系。這也正是古希臘數學的欠缺之處。而中國缺乏的卻是象古希臘《幾何原本》那樣嚴密邏輯的幾何學和數學思想。對現代數學來講，精密的計算和嚴密的證明理論同樣都是不可缺少的。

中國古代數學的這些內容后來經過印度和阿拉伯等國家輾轉傳入了歐洲，對文藝復興前后世界數學的發展，作出了應有的貢獻。

如何學好算數

一、簡單的計算，也要循序漸進地掌握

計算的學習是循序漸進的，人教版一年級算數的安排是這樣分級的：

5以內加減法

10以內加減法

20以內進位加法

20以內退位減法

100以內加減法。具體又分為整十數加減整十數、兩位數加一位數或整十數、兩位數減一位數或整十數。兩位數加減兩位數是二年級的知識。

怎么樣，作為大人，看起來是不是覺得很啰嗦？100以內的加減法都要分這么多級別來學？但是，當你真的跟著孩子一路輔導過來，你就會發現，這個設置是多么的科學！

科學的設置，還要輔以科學的方法。最高效的學習方法當然是“學少得多”，即把大部分時間精力用來學習其中的關鍵知識，然后再拓展到整體，達到以點帶面、融會貫通的學習效果。

對于一年級甚至整個小學階段來說，計算的重中之重就是10以內加法和20以內進位加法。

是的，你沒看錯，就是這么少！

二、10以內加減法

回頭剛開始朋友的問題，一開始學算數就是要掰著手指頭算的。不要小看這個過程，對于數這個抽象的概念，小朋友就是要通過肢體動作和肌肉記憶來慢慢理解和內化。這個過程看似笨拙，卻對理解大有幫助。

先熟練掌握5以內的加減法，就是掰著手指數，數得多了，慢慢就理解了，然后開始背，5以內的分解和組成：

以3為例：3可以分成1和2、2和1；1和2組成3，2和1組成3。

然后是10以內的分解，6到9方法同上，10有專門的好朋友歌：

一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七真親密，四六四六一雙手，五五湊成一雙手。

去這樣，讓孩子熟練到看3想7，看2想8，看......，一旦達到這樣的效果，10以內的加法就非常熟練了。

至于10以內的減法？加法都會了，減法還是問題嗎？孩子不理解？拿數棒演示一下加法和減法的關系就好了。

10以內的分解和組成

三、20以內進位加法

20以內加減法的重點就是20以內的進位加法，用“湊十法”來掌握，舉個例子：

湊十法

可以看出，考驗的是10以內加減法的基本功：看9想1，6可以分解成1和5，答案就出來了。

一開始用破十法一步一步算，做的多了，速度就上去了。輔導孩子的過程中，我發現孩子容易卡殼和出錯的是這幾個算式：7+8=15、6+7=13、5+8=13。于是，我干脆直接讓他背下來，他后來告訴我，自從我讓他背下來之后，他做題就比較快了，關鍵是，還不出錯。

對于你家孩子，你要觀察他容易在哪個地方卡殼，就讓他直接把那個算式背下來，形成機械記憶。

再次重申，減法是加法的變形，所以如果你家孩子算數不好，就把重點放在10以內加法和20以內進位加法的練習上。我家孩子現在每天一頁口算，我不給加難度，還是做這些基礎，因為我知道這是基礎中的基礎，重點中的重點。

20以內進位加法

總結一下，孩子剛學習算數時，家長切不可操之過急，總以為很簡單，孩子應該一下子掌握，卻不知，這些看似簡單的計算卻是數學大廈的根基，一開始要掌握的重點就是10以內加法和20以內進位加法，其它皆為延伸和變形。

復雜，是簡單的變形，抓住重點，掌握核心，學少得多，孩子輕松，大人放松。