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數(shù)學(xué)定義

亞里士多德把數(shù)學(xué)定義為“數(shù)量數(shù)學(xué)"，這個定義直到18世紀。從19世紀開始，數(shù)學(xué)研究越來越嚴格，開始涉及與數(shù)量和量度無明確關(guān)系的群論和投影幾何等抽象主題，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開始提出各種新的定義。這些定義中的一些強調(diào)了大量數(shù)學(xué)的演繹性質(zhì)，一些強調(diào)了它的抽象性，一些強調(diào)數(shù)學(xué)中的某些話題。即使在專業(yè)人士中，對數(shù)學(xué)的定義也沒有達成共識。數(shù)學(xué)是否是藝術(shù)或科學(xué)，甚至沒有一致意見。許多專業(yè)數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的定義不感興趣，或者認為它是不可定義的。有些只是說，“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的。”

數(shù)學(xué)定義的三個主要類型被稱為邏輯學(xué)家，直覺主義者和形式主義者，每個都反映了不同的哲學(xué)思想學(xué)派。都有嚴重的問題，沒有人普遍接受，沒有和解似乎是可行的。

數(shù)學(xué)邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（Benjamin Peirce）的“得出必要結(jié)論的科學(xué)”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學(xué)程序，并試圖證明所有的數(shù)學(xué)概念，陳述和原則都可以用符號邏輯來定義和證明。數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)定義是羅素的“所有數(shù)學(xué)是符號邏輯”（1903）。

直覺主義定義，從數(shù)學(xué)家L.E.J. Brouwer，識別具有某些精神現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。直覺主義定義的一個例子是“數(shù)學(xué)是一個接著一個進行構(gòu)造的心理活動”。直觀主義的特點是它拒絕根據(jù)其他定義認為有效的一些數(shù)學(xué)思想。特別是，雖然其他數(shù)學(xué)哲學(xué)允許可以被證明存在的對象，即使它們不能被構(gòu)造，但直覺主義只允許可以實際構(gòu)建的數(shù)學(xué)對象。

正式主義定義用其符號和操作規(guī)則來確定數(shù)學(xué)。 Haskell Curry將數(shù)學(xué)簡單地定義為“正式系統(tǒng)的科學(xué)”。正式系統(tǒng)是一組符號，或令牌，還有一些規(guī)則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統(tǒng)中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統(tǒng)中，公理是包含在給定的正式系統(tǒng)中的令牌的組合，而不需要使用系統(tǒng)的規(guī)則導(dǎo)出。